[2016년 대화고]

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[2학년 1학기 중간 미적1]

[eqn: lim_n->inf {2overn +2}over{5- 7overn]의 값은? [3.3점]

②

① [eqn: 2over7]	② [eqn: 2over5]	③ [eqn: 3over7]

④ [eqn: 3over5]	⑤ [eqn: 5over7]

자연수 [eqn: n]에 대하여, [eqn: S_n =sum_k=1 ^n k(k+1)], [eqn: T_n =sum_k=1 ^n (n+k)(n+k+1)]일 때, [eqn: lim_n->inf T_n over S_n]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

급수 [eqn: (a _{1} +2)+(a _{2} +2)+(a _{3} +2)+` CDOTS]가 수렴할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} (3a_n +4)]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 0]

실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a+a^2 +a^3 +a^4 +`cdots`=3]일 때, 등비급수
[eqn: a-a^2 +a^3 -a^4 +`cdots] 의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: 2over7]	② [eqn: 3over7]	③ [eqn: 4over7]

④ [eqn: 5over7]	⑤ [eqn: 6over7]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y= 2overx]와 직선 [eqn: y=-x+2n]의 두 교점을 [eqn: {rm A}_n], [eqn: {rmB}_n]이라 하고 선분 [eqn: {rmA}_n{rmB}_n]의 길이를 [eqn: l_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf l_n overn]의 값은? [4.8점]

①

① [eqn: 2root2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: root10]

④ [eqn: 2root3]	⑤ [eqn: 4]

수열 [eqn: LEFT{a_n RIGHT]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^inf LEFT(na_n - {3n^2 +1}overn+3 RIGHT)=6]일 때,
[eqn: lim_n->inf ({a^2}_n -2a_n +4)]의 값은? [4.8점]

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

그림과 같이 중심이 [eqn: (1,```0)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: O_1]이 있다. 원 [eqn: O_1]이 직선 [eqn: y= 1overroot3 x]와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: {rmA}_1]이라 하고 직서 [eqn: y= 1overroot3 x]의 윗 쪽에 있는 호 [eqn: {rmOA}_1]의 길이를 [eqn: l_1]이라 하자. 중심이 [eqn: (l_1,```0)]이고 반지름의 길이가 [eqn: l _{1}]인 원 [eqn: O_2]를 그린다. 원 [eqn: O_2]가 직선 [eqn: y= 1overroot3 x]와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: {rmA}_2]라 하고 직선 [eqn: y= 1over root3 x]의 윗 쪽에 있는 호 [eqn: {rmOA}_2]의 길이를 [eqn: l _{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 호의 길이를 [eqn: l_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1 ^inf 1overl_n]의 값은? [5.3점]

④

① [eqn: 2over4pi-3]	② [eqn: 3over4pi-3]	③ [eqn: 1overpi-1]

④ [eqn: 3over2pi-3]	⑤ [eqn: 2overpi-2]

[eqn: lim_x->1 {root {x^2 +3}-2 }overx-1]의 값은? [3.7점]

③

① [eqn: - 1over2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3over2]

함수 [eqn: f(x)=[x]^2 +a[x]]에 대하여 등식 [eqn: lim_x->2- f(x)=lim_x->2+ f(x)]가 성립하도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4.2점]

②

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 0]

함수 [eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {} {LEFT ( x ^{2} + {1} over {2} RIGHT ) ^{n} -2} over {LEFT(x ^{2} + {1} over {2}}RIGHT)^n +2]에 대하여
[eqn: f LEFT(root2 over2 RIGHT)` + lim_{x->root2 over2 -} f(x)]의 값은? [4.8점]

①

① [eqn: - 4over3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 4over3]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프가 다음 그림과 같고
[eqn: lim _{x -> -1+} {} f(g(x))=a], [eqn: lim_x->1- f(f(x))=b], [eqn: lim_x->-1+ g(g(x))=c]일 때,
[eqn: a+b+c]의 값은? [4.2점]

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

함수 [eqn: f(x)=cases{x^2 + x-b#`````ax+2} ``````pile{( LEFT | x RIGHT |<2) # (LEFT | x RIGHT | GEQ2) }]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [4.2점]

④

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

[eqn: lim_x->inf {3f(x)+2g(x)}over{9f(x)-2g(x)}= q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.8점]

(가) [eqn: lim_x->inf f(x) =inf]

(나) [eqn: lim_x->inf LEFT{2f(x)-3g(x)RIGHT } =2]

⑤

① [eqn: 10]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 36]

두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.0점]

④

ㄱ. [eqn: lim_x->1+ f(x)=f(1)]

ㄴ. [eqn: lim_x->-1 f(x)g(x)=1]이다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=1]에서 불연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)= {cases{x+2&```(x < - 1)#0&```(x=-1)#x ^{2}&```(-1<x<1)#x-2&```(x GEQ 1)}}]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.0점]

③

ㄱ. [eqn: lim_x->-1- LEFT{f(x)+f(-x) RIGHT }=0]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)- LEFT | f(x) RIGHT |]는 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)f(x-a)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이

되도록 하는 상수 [eqn: a]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 [eqn: a]에 대하여 집합
[eqn: LEFT { `x` LEFT | `ax ^{2} +2(a-2)x-(a-2)=0,```x는```실수 RIGHT } RIGHT .]
의 원소의 개수를 [eqn: f(a)]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.3점]

⑤

ㄱ. [eqn: lim_a->1+ f(a)=0]

ㄴ. [eqn: lim_a->c+ f(a) !=lim_a->c- f(a)]인 실수 [eqn: c]는 [eqn: 2]개다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(a)]가 불연속인 점은 [eqn: 3]개다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=(x^2 +x+2)(x^2 -3)]에 대하여
[eqn: lim_h->0 {f(1+2h)-f(1-h)}overh]의 값은? [3.7점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f(x)=x LEFT | x RIGHT |+ LEFT | x+1 RIGHT |^3]에 대하여 [eqn: f`'`(0) +f`'`(-1)]의 값은? [4.2점]

⑤

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x=0]에서 미분가능한 함수를 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대정수이다.) [4.8점]

④

ㄱ. [eqn: f(x)=x-[x]]

ㄴ. [eqn: g(x)=x LEFT | x RIGHT |]

ㄷ. [eqn: h(x)=x^2 [x]]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: a]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f` prime (a)]의 값은? [5.3점]

③

(가) [eqn: f(a)=f(3)=f(5)]

(나) [eqn: f`'(2)=3]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 7]

서술형

다음 문제를 잘 읽고 서술형 답란에 바르게 쓰시오.

도함수의 정의를 이용하여 함수 [eqn: f(x)=x ^{n}]([eqn: n]은 양의 정수)의 도함수를 구하고 그 과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: lim _{h -> 0} {} {(x+h) ^{n} -x ^{n}} over {h} =lim _{h->0} left{nx ^{n-1} +h(...)right}]

곱의 미분법을 이용하여 다항식 [eqn: x^11 -x^6 +1]을 [eqn: (x-1)^2]으로 나누었을 때의 나머지를 구하고 그 풀이과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: 5x-4]

[2016년 대화고]

[2학년 1학기 중간 미적1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com